体拡大のテンソル積による特徴付けとGrothendieckのGalois理論

証明 (1): 有限次拡大 $\iff$ $L$-有限次元 ($\implies$) $[L:K] = n < \infty$ とする。$L$ の $K$-基底を $\{e_1, \dots, e_n\}$ とすると、$L = \bigoplus_{i=1}^n K e_i$ である。テンソル積の分配律より、 $$ A = L \otimes_K \left( \bigoplus_{i=1}^n K e_i \right) \cong \bigoplus_{i=1}^n (L \otimes_K K) e_i \cong \bigoplus_{i=1}^n L (1 \otimes e_i) $$ したがって、$A$ は $\{1 \otimes e_1, \dots, 1 \otimes e_n\}$ を基底とする $n$ 次元の $L$-ベクトル空間である。

($\impliedby$) $\dim_L(A) = n < \infty$ とする。$A$ を $K$-ベクトル空間として見ると、$\dim_K(A) = \dim_K(L) \dim_L(A) = n \dim_K(L)$ となる。一方、テンソル積の定義より $\dim_K(A) = (\dim_K(L))^2$ である。したがって $\dim_K(L) = n < \infty$ となり、$L/K$ は有限次拡大である。

証明 (2): 分離拡大 $\iff$ 被約環 ($\implies$) $L/K$ が分離拡大であるとする。任意の有限生成部分拡大 $L_i/K$ は原始元定理より $L_i = K(\alpha_i)$ と書ける。$\alpha_i$ の最小多項式 $f_i(X) \in K[X]$ は分離多項式であるため、$L_i \otimes_K L_i \cong L_i[X]/(f_i(X))$ は重根を持たず、有限個の体の直積となり被約環である。$L/K$ は有限次分離拡大の直極限 $L = \varinjlim L_i$ と書け、テンソル積は直極限と可換であるため $A = \varinjlim (L_i \otimes_K L_i)$ となる。被約環の直極限も被約環であるため、$A$ は被約環である。

($\impliedby$) 対偶を示す。$L/K$ が分離拡大でないとする。このとき $\mathrm{char}(K) = p > 0$ であり、非分離的な元 $\alpha \in L \smallsetminus K$ とある整数 $e \ge 1$ が存在し、$\alpha^{p^e} = a \in K$ となる。 $A$ において $u = \alpha \otimes 1 - 1 \otimes \alpha$ とおく。$1$ と $\alpha$ は $K$ 上一次独立なので $u \neq 0$ である。しかし、 $$ u^{p^e} = (\alpha \otimes 1 - 1 \otimes \alpha)^{p^e} = \alpha^{p^e} \otimes 1 - 1 \otimes \alpha^{p^e} = a \otimes 1 - 1 \otimes a = 0 $$ となり、$u$ は非零の冪零元である。したがって $A$ は被約環ではない。

証明 (3): 正規拡大 $\iff$ 剰余体が $L$ に同型 ($\implies$) $L/K$ が正規拡大であるとする。任意の素イデアル $\mathfrak{p} \subset A$ を取り、$E = \mathrm{Frac}(A/\mathfrak{p})$ とおく。$L/K$ は代数拡大なので、$A$ は $L$ 上代数的な環である。したがって整域 $A/\mathfrak{p}$ も $L$ 上代数的であり、体となる。すなわち $E = A/\mathfrak{p}$ である。
自然な準同型写像 $\phi_1(x) = x \otimes 1 \bmod \mathfrak{p}$ と $\phi_2(x) = 1 \otimes x \bmod \mathfrak{p}$ を考える。$L$ は体なので、これらは零環ではない $E$ への単射である。 任意の $\alpha \in L$ の $K$ 上の最小多項式を $f(X) \in K[X]$ とすると、$f(\phi_2(\alpha)) = f(1 \otimes \alpha) \bmod \mathfrak{p} = 1 \otimes f(\alpha) \bmod \mathfrak{p} = 0$ となる。$L/K$ は正規拡大なので、$f(X)$ は $L$ 上で一次式に完全に分解する。よって、その根である $\phi_2(\alpha)$ は $\phi_1(L)$ に含まれなければならない。対称性から $\phi_1(L) = \phi_2(L)$ であり、$E$ はこれらで生成されるため $E = \phi_1(L) \cong L$ となる。

($\impliedby$) 任意の素イデアルによる剰余体が $L$ に同型であるとする。$\alpha \in L$ を任意に取り、その $K$ 上の最小多項式を $f(X)$ とする。$f(X)$ のある根 $\beta$ を含む $L$ の拡大体 $\Omega$ を取る。$\alpha \mapsto \beta$ とする $K$ 上の同型は、環準同型 $\Phi: L \otimes_K L \to \Omega$ を $\Phi(x \otimes y) = x \cdot y'$ ($y'$ は $y$ を同型で写した像) によって誘導する。
$\ker(\Phi) = \mathfrak{p}$ は素イデアルであり、$A/\mathfrak{p}$ は $\Omega$ の部分体と同型になる。仮定より $\mathrm{Frac}(A/\mathfrak{p}) \cong L$ であるため、第二成分の像 (特に $\beta$) も第一成分の像 (すなわち $L$ 自身のコピー) に含まれなければならない。よって $\beta \in L$ となり、$f(X)$ のすべての根は $L$ に属するため正規拡大である。

証明 (4): 有限次分離拡大 $\iff$ 有限個の体の直積 ($\implies$) (2)の証明で示したように、有限次分離拡大ならば原始元定理より $L = K(\alpha)$ と書け、$A \cong L[X]/(f(X))$ となる。$f(X)$ は重根を持たないため、中国剰余定理により $A \cong \prod_{i=1}^r L[X]/(f_i(X))$ となり、各 $f_i$ が既約であることから有限個の体の直積となる。

($\impliedby$) $A \cong \prod_{i=1}^r F_i$ (各 $F_i$ は体) であるとする。$A$ は有限個の体の直積なので被約環であり、(2)より分離拡大である。また、各 $F_i$ は $L$ を含むため $L$-ベクトル空間として少なくとも1次元以上であり、$A$ 全体としても有限次元である。したがって(1)より有限次拡大である。

証明 (5): 有限次正規拡大 $\iff$ 剰余体が $L$ である局所Artin環の直積 ($\implies$) (1)より有限次なので、$A$ は $L$ 上有限次元、すなわちArtin環である。Artin環の構造定理より $A \cong \prod_{i=1}^r A_i$ (各 $A_i$ は極大イデアル $\mathfrak{m}_i$ をもつ局所Artin環) と一意に分解される。$A$ の素イデアルは $\mathfrak{m}_i$ に対応し、剰余環 $A/\mathfrak{m}_i$ は $A_i/\mathfrak{m}_i$ に同型である。さらに(3)より正規拡大であることから剰余体は $L$ に同型である。よって $A_i/\mathfrak{m}_i \cong L$ である。

($\impliedby$) $A \cong \prod_{i=1}^r A_i$ であるとする。$A$ はArtin環なので $L$ 上有限次元であり、(1)より有限次拡大である。また、各 $A_i$ の剰余体が $L$ に同型であることは、$A$ の任意の素イデアルによる剰余体が $L$ に同型であることを意味する。したがって(3)より正規拡大である。

証明 (6): 有限次Galois拡大 $\iff$ $[L:K]$ 個の体 $L$ の直積 ($\implies$) $L/K$ を $n$ 次の有限次Galois拡大とし、そのGalois群を $G = \mathrm{Gal}(L/K) = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$ とする。 写像 $\Phi: L \otimes_K L \to \prod_{\sigma \in G} L$ を以下のように定義する。 $$ \Phi(x \otimes y) = (x \sigma(y))_{\sigma \in G} $$ この $\Phi$ は、第一成分の積に対して $\Phi((x_1x_2) \otimes y) = (x_1 x_2 \sigma(y))_{\sigma \in G} = x_1 \Phi(x_2 \otimes y)$ となるため、$L$-代数としての準同型写像である。
両辺の $L$-ベクトル空間としての次元を比較すると、$\dim_L(L \otimes_K L) = \dim_K(L) = n$ であり、右辺の直積も $n$ 個の $L$ の直積であるため次元は $n$ である。有限次元ベクトル空間の間の線形写像であるため、$\Phi$ が単射であることを示せば同型であることが言える。
$\Phi$ が単射でないと仮定する。このとき、非零の元 $u = \sum_{j=1}^m x_j \otimes y_j \in \ker(\Phi)$ が存在する。テンソル積の性質から、$y_1, \dots, y_m$ は $K$ 上一次独立であるとしてよい。$u \in \ker(\Phi)$ であるため、すべての $\sigma \in G$ について以下の等式が成り立つ。 $$ \sum_{j=1}^m x_j \sigma(y_j) = 0 $$ これは、$L$ から $L$ への自己同型写像 $\{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$ が $L$ 上で一次従属であることを意味している。しかし、Dedekindの補題 (指標の一次独立性) により、相異なる体自己同型は線形独立でなければならないため、これは矛盾である。したがって $\ker(\Phi) = 0$ となり、$\Phi$ は同型写像である。

($\impliedby$) $L$-代数としての同型写像 $\Phi: L \otimes_K L \xrightarrow{\sim} \prod_{i=1}^n L$ が存在すると仮定する。 $L$-ベクトル空間としての次元を比較すると、$\dim_L(L \otimes_K L) = \dim_K(L)$ であり、右辺の次元は $n$ である。したがって $[L:K] = n$ となり、$L/K$ は有限次拡大である。
右辺の直積環には、各成分への射影写像 $p_i: \prod_{j=1}^n L \to L$ が $n$ 個存在する。これらと $\Phi$ を合成することで、$A$ から $L$ への $n$ 個の相異なる $L$-代数準同型 $\psi_i = p_i \circ \Phi$ を得る。ここで、各 $\psi_i$ を用いて写像 $\sigma_i: L \to L$ を次のように定義する。 $$ \sigma_i(y) = \psi_i(1 \otimes y) $$ $\psi_i$ は環準同型であるため、$\sigma_i$ も環準同型 ($K$ 上の体の埋め込み) となる。$L/K$ は有限次拡大であるため、$L$ から $L$ への $K$-線形な単射は必ず全射となり、$\sigma_i$ は $K$-自己同型写像 (すなわち $\mathrm{Gal}(L/K)$ の元) である。
もし $\sigma_i = \sigma_j$ となる $i \neq j$ が存在したとすると、任意の $x, y \in L$ について $$ \psi_i(x \otimes y) = \psi_i(x \otimes 1)\psi_i(1 \otimes y) = x \sigma_i(y) = x \sigma_j(y) = \psi_j(x \otimes y) $$ となり、$\psi_i = \psi_j$ となってしまうが、これは $\psi_i$ が $n$ 個の相異なる写像であることに矛盾する。 したがって、$\{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$ はすべて相異なる $n$ 個の $L$ の $K$-自己同型である。拡大次数 $[L:K] = n$ に対して自己同型群の位数が $n$ に等しいため、定義により $L/K$ は有限次Galois拡大である。

証明 同型 $\Phi: L \otimes_K L \xrightarrow{\sim} \prod_{\sigma \in G} L$ において、Galois群 $G$ の元 $\tau$ は、テンソル積の右側の成分に対して $\tau \cdot (x \otimes y) = x \otimes \tau(y)$ として作用する。この作用は右辺の直積成分のインデックスを $(\tau \cdot \mathbf{c})_\sigma = c_{\sigma\tau}$ のようにシフトさせる。

ステップ1：部分群 $H$ から出発し、$\mathrm{Gal}(L/L^H) = H$ を示す
任意の部分群 $H \le G$ を取り、対応する中間体を $M = L^H$ とする。$L \otimes_K L$ と $\prod_{\sigma \in G} L$ の双方において、$H$ の作用で不変な部分環 ($H$-不変部分) を考える。

• 左辺の $H$-不変部分は $(L \otimes_K L)^H = L \otimes_K (L^H) = L \otimes_K M$ であり、その $L$-ベクトル空間としての次元は $\dim_K(M) = [M:K]$ である。
• 右辺の直積環の元 $\mathbf{c}$ が $H$-不変であるとは、任意の $h \in H$ と $\sigma \in G$ について $c_\sigma = c_{\sigma h}$ となること。すなわち左剰余類 $\sigma H$ の上で定数になることである。左剰余類は $[G:H] = |G|/|H|$ 個存在するため、不変部分の $L$-次元は $[G:H]$ である。

したがって $[M:K] = [G:H]$ を得る。$[L:K] = |G| = [L:M][M:K]$ より、直ちに $[L:M] = |H|$ となる。明らかに $H \subset \mathrm{Gal}(L/M)$ であり、(後述のステップ2により) $\mathrm{Gal}(L/M)$ の位数は $[L:M]$ に等しいため、包含関係と位数が一致し $H = \mathrm{Gal}(L/M)$ が従う。

ステップ2：中間体 $M$ から出発し、$L^{\mathrm{Gal}(L/M)} = M$ を示す
任意の中間体 $K \subset M \subset L$ を取り、$H_M = \mathrm{Gal}(L/M)$ とする。 自然な全射環準同型 $\pi: L \otimes_K L \twoheadrightarrow L \otimes_M L$ を考える。この全射の核 $I_M$ は、集合 $\{ 1 \otimes m - m \otimes 1 \mid m \in M \}$ で生成されるイデアルである。すなわち $(L \otimes_K L) / I_M \cong L \otimes_M L$ となる。
同型 $\Phi$ を通じて、この生成元の像を計算すると、 $$ \Phi(1 \otimes m - m \otimes 1) = (\sigma(m) - m)_{\sigma \in G} $$ となる。イデアル $\Phi(I_M)$ は、「すべての $m \in M$ に対して $\sigma(m) = m$ となる成分」、すなわち $\sigma \in H_M$ に対応する成分においてのみ値が $0$ となる元の集合によって生成される。したがって、このイデアルで右辺の直積環を割ると、$H_M$ に対応する成分だけが生き残り、 $$ \prod_{\sigma \in G} L \Big/ \Phi(I_M) \cong \prod_{\sigma \in H_M} L $$ という同型が得られる。この同型は左辺の剰余環 $L \otimes_M L$ と結ばれるため、$L \otimes_M L \cong \prod_{\sigma \in H_M} L$ となる。
両辺の $L$-ベクトル空間としての次元を比較する。左辺の次元は $[L:M]$ であり、右辺の次元は直積の成分数 $|H_M|$ である。したがって $[L:M] = |H_M|$ を得る。
ステップ1の次元計算を $H = H_M$ に対して適用すると $[L:L^{H_M}] = |H_M|$ となる。$M \subset L^{H_M}$ でありながら、$L$ までの拡大次数が互いに $|H_M|$ で完全に一致するため、$M = L^{H_M}$ でなければならない。これでGalois対応の全単射性が完全に証明された。